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标准

在 IEEE-754 规范[39]中，浮点数由三部分组成：符号位、指数部分和尾数部分（标准化表示方式）。单精度浮点数一般是用 4 字节（32bit）来表示。

不同标准的单精度浮点数、半精度浮点数表示方式[39]

规格化表示Normalized

一个浮点数可以有多种表示方式，比如：

1.23 × 10²，0.123 × 10³，12.3 × 10¹

为了提高数据的表示精度同时保证数据表示的唯一性，需要对浮点数做规格化处理。

在计算机内，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须大于基数的倒数，即|M|≥1R|M|≥1R。

即要求尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。

比如，二进制原码的规格化数的表现形式：(0正1负)

正数 0.1xxxxxx

负数 1.1xxxxxx

注意，尾数的最高位始终是1，因此我们完全可以省略掉该位。

至此，我们引入IEEE754 标准，该标准约束了浮点数的大部分使用设置：(尾数用原码；阶码用“移码”；基为2)

(1) 尾数用原码,且隐藏尾数最高位。

原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，因此可以忽略掉该位,这样用同样多的位数就能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。

(2) 阶码使用“移码”，基固定为2

于是，

一个规格化的32位浮点数ｘ的真值为：

x=(−1)^s×(1.M)×2^E−127 一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为：

x=(−1)^s×(1.M)×2^E−1023

大端小端

计算机硬件有两种储存数据的方式：大端字节序（big endian）和小端字节序（little endian）。

举例来说，数值0x2211使用两个字节储存：高位字节是0x22，低位字节是0x11。

• 大端字节序：高位字节在前，低位字节在后，这是人类读写数值的方法。
• 小端字节序：低位字节在前，高位字节在后，即以0x1122形式储存。

0x1234567的大端字节序和小端字节序的写法如下图。

为什么会有小端字节序？

答案是，计算机电路先处理低位字节，效率比较高，因为计算都是从低位开始的。所以，计算机的内部处理都是小端字节序。

但是，人类还是习惯读写大端字节序。所以，除了计算机的内部处理，其他的场合几乎都是大端字节序，比如网络传输和文件储存。

Examples

一个32位单精度浮点数-3.75

(1) 首先转化为2进制表示

−3.75=−(2 + 1 + 1/2 + 1/4)=−1.111×2¹ (2) 整理符号位并进行规格化表示

−1.111×2¹=(−1)⁽¹⁾ × (1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2¹

(3) 进行阶码的移码处理 (−1)⁽¹⁾×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2¹ =(−1)⁽¹⁾×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^128−127

于是，符号位S=1，尾数M为1110 0000 0000 0000 0000 0001110 0000 0000 0000 0000 000阶码E为128₁₀=1000 0000₂,则最终的32位单精度浮点数为

1 1110 0000 0000 0000 0000 000 1000 0000

在线进制转换

Reference

浮点数的二进制表示

浮点数表示

半精度浮点数Half

理解字节序

深入理解浮点数有效位